في الرياضيات، المصفوفة عبارة عن مجموعة مستطيلة من الأرقام أو الرموز أو التعبيرات مرتبة في صفوف وأعمدة. تُستخدم المصفوفات بشكل شائع في المجالات العلمية مثل الفيزياء ورسومات الكمبيوتر ونظرية الاحتمالات والإحصاء وحساب التفاضل والتكامل والتحليل العددي وما إلى ذلك.
يتم التعبير عن أبعاد المصفوفة A عادة بـ m × n . هذا يعني أن A يحتوي على صفوف m وأعمدة n . عند الإشارة إلى قيم محددة (تسمى العناصر) في المصفوفة، فمن الشائع استخدام متغير ذو سفلين لتمثيل كل عنصر وفقًا لموقعه في المصفوفة. على سبيل المثال، بالنظر إلى i ,j حيث i = 1 و j = 3 ، فإن a 1,3 هي قيم العناصر الموجودة في الصف الأول والعمود الثالث من المصفوفة المحددة.
تشبه عمليات المصفوفة، مثل الجمع والضرب والطرح وما إلى ذلك، ما اعتاد معظم الناس على رؤيته في أساسيات الحساب والجبر، لكنها تختلف في بعض النواحي وتخضع لقيود معينة. فيما يلي وصف لعمليات المصفوفة التي يمكن لهذه الآلة الحاسبة تنفيذها.
إضافة مصفوفة
لا يمكن تنفيذ إضافة المصفوفة إلا على مصفوفات من نفس الحجم. هذا يعني أنه لا يمكنك إضافة المصفوفات إلا إذا كانت المصفوفتان m × n . على سبيل المثال، يمكنك إضافة مصفوفتين أو أكثر 3 × 3، 1 × 2، أو 5 × 4 . لا يمكنك جمع المصفوفات 2 × 3 و 3 × 2 و 4 × 4 و 3 × 3 وما إلى ذلك. يجب أن يتطابق عدد الصفوف والأعمدة لجميع المصفوفات المراد إضافتها تمامًا.
إذا كانت المصفوفات من نفس الحجم، يتم إجراء إضافة المصفوفة عن طريق إضافة العناصر المقابلة في المصفوفات. على سبيل المثال، في حالة وجود مصفوفتين A و B ، عناصرهما a i,j و b i,j ، قم بإضافة المصفوفات عن طريق إضافة كل عنصر، ثم ضع النتيجة في مصفوفة الموضع المقابلة في المصفوفة الجديدة C :
أ =
1
2
3
4
؛ ب =
5
6
7
8
في المصفوفة أعلاه ، أ 1,1 = 1 ; أ 1,2 = 2 ; نضيف العناصر المقابلة للحصول على c i,j . أضف القيم من الصفوف والأعمدة المقابلة:
أ 1,1 + ب 1,1 = 1 + 5 = 6 = ج 1,1
أ 1,2 + ب 1,2 = 2 + 6 = 8 = ج 1,2
أ 2,1 + ب 2,1 = 3 + 7 = 10 = ج 2,1
أ 2,2 + ب 2,2 = 4 + 8 = 12 = ج 2,2
وبالتالي فإن المصفوفة C هي:
ج =
6
8
10
12
طرح المصفوفة
يتم تنفيذ طرح المصفوفة بنفس طريقة إضافة المصفوفة أعلاه، باستثناء أنه يتم طرح القيم بدلاً من إضافتها. إذا لزم الأمر، راجع المعلومات والأمثلة أعلاه للحصول على شرح للرموز المستخدمة في الأمثلة التالية. مثل جمع المصفوفات، يجب أن تكون المصفوفات التي يتم طرحها بنفس الحجم. إذا كانت المصفوفات بنفس الحجم، فقم بإجراء عملية طرح المصفوفات عن طريق طرح العناصر الموجودة في الصفوف والأعمدة المقابلة:
أ =
1
2
3
4
؛ ب =
5
6
7
8
أ 1,1 - ب 1,1 = 1 - 5 = -4 = ج 1,1
أ 1,2 - ب 1,2 = 2 - 6 = -4 = ج 1,2
أ 2,1 - ب 2,1 = 3 - 7 = -4 = ج 2,1
أ 2,2 - ب 2,2 = 4 - 8 = -4 = ج 2,2
وبالتالي فإن المصفوفة C هي:
ج =
-4
-4
-4
-4
ضرب المصفوفة
الضرب العددي:
يمكن ضرب المصفوفة في قيمة عددية عن طريق ضرب كل عنصر في المصفوفة في عددية. على سبيل المثال، بالنظر إلى المصفوفة A وعددية c :
أ=
1
2
3
4
ج = 5
منتج ج و أ هو:
5 ×
1
2
3
4
=
5
10
15
20
ضرب المصفوفة والمصفوفة:
يعد ضرب مصفوفتين (أو أكثر) أكثر تعقيدًا من ضرب العدد القياسي. من أجل ضرب مصفوفتين، يجب أن يتطابق عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى مع عدد الصفوف في المصفوفة الثانية. على سبيل المثال، يمكنك ضرب مصفوفة 2 × 3 في مصفوفة 3 × 4 ، لكن لا يمكنك ضرب مصفوفة 2 × 3 في مصفوفة 4 × 3.
يمكن الضرب بـ:
أ =
1,1
1,2
1,3
2,1
2,2
2,3
؛ ب =
ب 1،1
ب 1،2
ب 1،3
ب 1,4
ب 2،1
ب 2،2
ب 2،3
ب 2,4
ب 3،1
ب 3،2
ب 3،3
ب 3،4
لا يمكن مضاعفة:
أ =
1,1
1,2
1,3
2,1
2,2
2,3
؛ ب =
ب 1،1
ب 1،2
ب 1،3
ب 2،1
ب 2،2
ب 2،3
ب 3،1
ب 3،2
ب 3،3
ب 4،1
ب 4،2
ب 4,3
لاحظ أنه عند ضرب المصفوفات، A × B لا يساوي بالضرورة B × A. في الواقع، لمجرد أن A يمكن ضربه في B لا يعني أنه يمكن ضرب B في A.
إذا كانت المصفوفات بالحجم الصحيح ويمكن ضربها، يتم ضرب المصفوفات عن طريق إجراء ما يسمى بالضرب النقطي. يتضمن المنتج النقطي ضرب العناصر المقابلة في صفوف المصفوفة الأولى بالعناصر الموجودة في أعمدة المصفوفة الثانية وإضافة النتائج، مما يعطي قيمة واحدة. لا يمكن تنفيذ المنتجات النقطية إلا على تسلسلات متساوية الطول. ولهذا السبب يجب أن يتطابق عدد أعمدة المصفوفة الأولى مع عدد صفوف المصفوفة الثانية.
تصبح المنتجات النقطية بعد ذلك القيم الموجودة في الصفوف والأعمدة المقابلة للمصفوفة الجديدة C. على سبيل المثال، من جزء المصفوفة أعلاه، يمكنك ضرب الصفوف الزرقاء في A بالأعمدة الزرقاء في B لتحديد المصفوفةالقيمة الموجودة في العمود الأول من الصف الأول من C. وهذا ما يسمى الصف 1 من A و
