حاسبة المعادلات التربيعية
المعادلات التربيعية حلالا / آلة حاسبة.
أدخل معاملات المعادلة التربيعية a، b، c واضغط على زر "احسب" :
ما هي المعادلة التربيعية؟
المعادلة التربيعية هي معادلة متعددة الحدود من الدرجة الثانية بمتغيرات من النوع f(x) = ax 2 + bx + c حيث a, b, c, ∈ R و a ≠ 0. إنه الشكل العام للمعادلة التربيعية حيث يُسمى "a" المعامل الرئيسي ويسمى "c" الحد المطلق لـ f(x). قيم x التي تحقق المعادلة التربيعية هي جذور المعادلة التربيعية (α,β).
المعادلات التربيعية لها دائمًا جذرين. يمكن أن تكون خصائص الجذور أرقامًا حقيقية أو أرقامًا خيالية.
جدول المحتويات
تصبح كثيرة الحدود التربيعية معادلة تربيعية عندما تساوي الصفر. تسمى قيم x التي تحقق المعادلة بجذور المعادلة التربيعية.
بشكل عام من: ax 2 + bx + c = 0
مثال: 3x 2 + x + 5 = 0، -x 2 + 7x + 5 = 0، x 2 + x = 0.
صيغة المعادلة التربيعية
يتم إعطاء حلول أو جذور المعادلة التربيعية بواسطة الصيغة التربيعية:
(α, β) = [-ب ± √(ب 2 – 4أك)]/2أ
صيغ لحل المعادلات التربيعية
1. جذور المعادلة التربيعية: x = (-b ± √D)/2a، حيث D = b 2 – 4ac
2. طبيعة الجذور:
- D > 0، الجذور حقيقية ومتميزة (غير متساوية)
- د = 0، الجذور حقيقية ومتساوية (مصادفة)
- D <0، الجذور وهمية وغير متساوية.
3. الجذور (α + iβ)، (α – iβ) هي أزواج مترافقة من بعضها البعض.
4. مجموع وحاصل ضرب الجذور: إذا كان α و β هما جذور المعادلة التربيعية، إذن
- S = α+β= -b/a = معامل x/ معامل x 2
- P = αβ = c/a = مصطلح/معامل ثابت x 2
5. المعادلة التربيعية في شكل الجذر: x 2 – (α+β)x + (αβ) = 0
6. المعادلات التربيعية أ 1 × 2 + ب 1 س + ج 1 = 0 و أ 2 × 2 + ب 2 س + ج 2 = 0؛
- جذر مشترك إذا (ب 1 ج 2 – ب 2 ج 1 )/(ج 1 أ 2 – ج 2 أ 1 ) = (ج 1 أ 2 – ج 2 أ 1 )/(أ 1 ب 2 – أ 2 ب 1) )
- إذا كان a 1 /a 2 = b 1 /b 2 = c 1 /c 2 فإن الجذرين مشتركان
7. في المعادلة التربيعية ax 2 + bx + c = 0 أو [(x + b/2a) 2 – D/4a 2 ]
- إذا كانت a > 0، فإن الحد الأدنى = 4ac – b 2 /4a عند x = -b/2a.
- إذا كانت a <0، فإن القيمة القصوى هي 4ac – b 2 /4a عند x= -b/2a.
8. إذا كانت α و β و γ هي جذور المعادلة التكعيبية ax 3 + bx 2 + cx + d = 0، فإن α + β + γ = -b/a، αβ + βγ + α = c/a، αβγ = - د/أ
9. إذا كانت المعادلة تحقق أكثر من رقمين، أي أن لها جذور أو حلول بأكثر من رقمين حقيقيين أو مركبين، تصبح المعادلة التربيعية هي الهوية (أ، ب، ج = 0).
جذور المعادلة التربيعية
تسمى قيم المتغيرات التي تحقق معادلة تربيعية معينة جذورها. بمعنى آخر، إذا كانت f(α) = 0، فإن x = α هو جذر المعادلة التربيعية f(x).
الجذر الحقيقي للمعادلة f(x) = 0 هو إحداثي x للنقطة التي يتقاطع فيها المنحنى y = f(x) مع المحور x.
- إذا كانت c = 0، فإن أحد جذور المعادلة التربيعية هو صفر والآخر هو -b/a
- إذا كان b = c = 0، فإن كلا الجذرين يساويان صفرًا
- إذا كان a = c، فإن الجذور متبادلة
ما هو التمييز؟
ويسمى الحد (ب 2 – 4ج) في المعادلة التربيعية بمميز المعادلة التربيعية . مميز المعادلة التربيعية يكشف طبيعة الجذور .
خصائص جذور المعادلات التربيعية
| إذا كانت قيمة المميز = 0 فإن ب 2 - 4أ = 0 | المعادلة التربيعية سيكون لها جذور متساوية، أي α = β = -b/2a |
| إذا كانت قيمة المميز < 0، أي ب 2 - 4أ < 0 | المعادلة التربيعية سيكون لها جذور وهمية، وهي α = (p + iq) و β = (p - iq). حيث "iq" هو الجزء التخيلي من العدد المركب |
| إذا كان المميز (د) > 0، أي ب 2 - 4أ > 0 | المعادلة التربيعية سيكون لها جذور حقيقية |
| إذا كانت قيمة المميز > 0 و D مربعًا كاملاً | المعادلات التربيعية سيكون لها جذور عقلانية |
| إذا كان المميز (D) > 0 وD ليس مربعًا كاملاً | المعادلة التربيعية سيكون لها جذور غير منطقية، وهي α = (p + √q) و β=(p – √q) |
| إذا كانت قيمة المميز أكبر من 0، فإن D هو مربع كامل، وa = 1 وb وc عددان صحيحان | المعادلة التربيعية سيكون لها جذور صحيحة |
كيفية تحديد خصائص جذور المعادلة التربيعية؟
مثال 1: أوجد قيمة k للتعبير التربيعي (x – a) (x – 10) + 1 = 0 الذي له جذور صحيحة.
حل:
يمكن إعادة كتابة المعادلة المعطاة على النحو التالي: x 2 – (10 + k)x + 1 + 10k = 0.
د = ب 2 - 4أ = 100 + ك 2 + 20 ك - 40 ك = ك 2 - 20 ك + 96 = (ك - 10) 2 - 4
سيكون للمعادلة التربيعية جذور صحيحة إذا كانت قيمة المميز > 0، فإن D هو مربع كامل، وa = 1 وb وc أعداد صحيحة.
أي (ك - 10) 2 - د = 4
لأن المميز مربع كامل. ولذلك، فإن الفرق بين مربعين كاملين في RHS هو 4 فقط إذا كان D = 0 و (k – 10) 2 = 4 .
⇒ ك – 10 = ± 2. لذلك، ك = 8 و 12.
مثال 2: أوجد قيمة k بحيث تكون المعادلة p/(x + r) + q/(x – r) = k/2x لها جذرين متساويين.
حل:
يمكن إعادة كتابة المعادلة التربيعية المعطاة على النحو التالي:
[2ع + 2q – ك]س 2 – 2ص[ص – ف]س + ص 2 ك = 0بالنسبة للجذور المتساوية، المميز (D) = 0، أي b 2 – 4ac = 0
هنا a = [ 2p + 2q – k ]، b = – 2r [ p – q ] و c = r 2 k
[-2ص (ص – ف)] 2 – 4[(2ف + 2ف – ك) (ص 2 ك)] = 0ص 2 (ص – ف) 2 – ص 2 ك(2ع + 2ف – ك) = 0
بما أن r ≠ 0، فإن (p – q) 2 – k(2p + 2q – k) = 0
ك 2 – 2(ع + ف)ك + (ع – ف) 2
ك = 2(ص+ف) ± √[4(ص + ف) 2 – 4(ص – ف)] 2 /2 = -(ص + ف) ± √4pq
∴ ك = (ع + ف) ± 2√pq = (√p ± √q) 2
مثال 3: ابحث عن معادلة تربيعية ذات معاملات عقلانية عندما يكون الجذر 1/(2 + √5).
حل:
إذا كانت المعاملات عقلانية، فإن الجذور غير النسبية تحدث في أزواج مترافقة . لذلك، إذا كان أحد الجذرين هو α = 1/(2 + √5) = √5 – 2، فسيكون الجذر الآخر β = 1/(2 – √5) = -√5 – 2.
حاصل ضرب الجذر α + β = -4 والجذر α β = -1.
وبالتالي فإن المعادلة المطلوبة هي x 2 + 4x – 1 = 0.
مثال 4: يتم تكوين معادلة تربيعية ذات معاملات حقيقية عندما يكون أحد جذورها (3 - 2i).
حل:
بما أن الجذور المعقدة تأتي دائمًا في أزواج، فإن الجذر الآخر هو 3 + 2i. لذلك، من خلال أخذ مجموع الجذور وحاصل ضربها، يمكننا تكوين المعادلة التربيعية المطلوبة.