حساب تسلسل فيبوناتشي

تسلسل فيبوناتشي هو نوع من السلاسل التي يكون فيها كل رقم هو مجموع الرقمين اللذين يسبقانه. وعادة ما يبدأ من 0 و 1. يتم إعطاء تسلسل فيبوناتشي بواسطة 0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55، 89، 144، إلخ. الأرقام الموجودة في تسلسل فيبوناتشي تسمى أيضًا أرقام فيبوناتشي . في الرياضيات، يتم تعريف التسلسل على أنه قائمة مرتبة من الأرقام التي تتبع نمطًا معينًا. تسمى الأرقام التي تظهر في تسلسل بالمصطلحات. الأنواع المختلفة للمتسلسلات هي الحسابية والهندسية والتوافقية وفيبوناتشي. في هذه المقالة، سنناقش تعريف وصيغ وقوائم وأمثلة تسلسل فيبوناتشي بالتفصيل.

ما هي أرقام فيبوناتشي؟

يتم تعريف تسلسل فيبوناتشي، المعروف أيضًا بأرقام فيبوناتشي، على أنه تسلسل من الأرقام حيث يكون كل رقم في التسلسل يساوي مجموع الرقمين اللذين يسبقانه. تسلسل فيبوناتشي هو كما يلي:

تسلسل فيبوناتشي = 0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، ....

وهنا يتم الحصول على الحد الثالث "1" عن طريق إضافة الحدين الأول والثاني. (أي 0+1 = 1)

بصورة مماثلة،

يتم إيجاد "2" عن طريق جمع الحدين الثاني والثالث (1+1 = 2)

ويتم الحصول على "3" عن طريق جمع الحدين الثالث والرابع (1+2)، وهكذا.

على سبيل المثال، يمكن العثور على العنصر التالي بعد 21 عن طريق إضافة 13 و21. وبالتالي، فإن العنصر التالي في التسلسل هو 34.

صيغة تسلسل فيبوناتشي

يتم تعريف تسلسل فيبوناتشي "F  n  " باستخدام علاقة عودية، مع القيم الأولية F  0  =0 و F  1  =1:

و  ن  = و  ن-1  + و  ن-2

هنا، يتم تعريف التسلسل باستخدام جزأين مختلفين مثل علاقة البدء وعلاقة العود.

جزء البداية هو F  0  = 0 و F  1  = 1.

جزء العلاقة العودية هو F  n  = F  n-1  +F  n-2 .

لاحظ أن التسلسل يبدأ من 0 وليس 1. لذلك، يجب أن يكون F  5 هو العنصر السادس في التسلسل .

قائمة أول 20 مصطلحًا في تسلسل فيبوناتشي هي:

0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55، 89، 144، 233، 377، 610، 987، 1597، 2584، 4181.

يتم حساب تسلسل فيبوناتشي على النحو التالي:

˚Fñ	أرقام فيبوناتشي
0	0
1	1
2	1
3	2
4	3
5	5
6	8
7	13
8	واحد وعشرون
9	34
… إلخ.	… إلخ.

يرتبط تسلسل فيبوناتشي ارتباطًا وثيقًا بقيمة النسبة الذهبية. نحن نعلم أن قيمة النسبة الذهبية تساوي تقريبًا 1.618034. ويمثلها الرمز "φ". إذا أخذنا النسبة بين رقمين متتاليين فيبوناتشي، فإن النسبة قريبة من النسبة الذهبية. على سبيل المثال، 3 و5 هما رقمان متتاليان فيبوناتشي. النسبة من 5 إلى 3 هي:

5/3 = 1.6666

وبأخذ زوج آخر من الأرقام، مثل 21 و34، تكون نسبة 34 و21:

34/21 = 1.619

وهذا يعني أنه إذا كان لهذا الزوج من أرقام فيبوناتشي قيمة أكبر، فإن النسبة قريبة جدًا من النسبة الذهبية.

لذلك، بمساعدة النسبة الذهبية، يمكننا العثور على أرقام فيبوناتشي في التسلسل.

صيغة حساب أرقام فيبوناتشي باستخدام النسبة الذهبية هي:

X  n  = [φ  n  – (1-φ)  n  ]/√5

أين،

φ هي النسبة الذهبية، وتساوي تقريبًا 1.618

n هو الحد n من تسلسل فيبوناتشي.

مثال على حل تسلسل فيبوناتشي

مثال 1:

عندما يكون n=5، استخدم العلاقة العودية للعثور على رقم فيبوناتشي.

حل:

صيغة حساب تسلسل فيبوناتشي هي: F  n  = F  n-1  +F  n-2

خذ: F  0  = 0 و F  1  = 1

وباستخدام الصيغة نحصل على

ف  2  = F1+F0 = 1+0 = 1

ف  3  = ف2+ف1 = 1+1 = 2

ف  4  = F3+F2 = 2+1 = 3

ف  5  = ف4+ف3 = 3+2 = 5

وبالتالي فإن رقم فيبوناتشي هو 5.

مثال 2:

عندما يكون n=6، استخدم النسبة الذهبية للعثور على أرقام فيبوناتشي.

حل:

صيغة حساب أرقام فيبوناتشي باستخدام النسبة الذهبية هي X  n  = [φ  n  – (1-φ)  n  ]/√5

نحن نعلم أن φ يساوي تقريبًا 1.618.

ن= 6

الآن، استبدال القيم في الصيغة، نحصل على

X  n  = [φ  n  – (1-φ)  n  ]/√5

×  6  = [1.618  6  – (1-1.618)  6  ]/√5

×  6  = [17.942 – (0.618)  6  ]/2.236

×  6  = [17.942 – 0.056]/2.236

×  6  = 17.886/2.236

×  6  = 7.999

×  6  = 8 (قيمة مقربة)

عندما يكون n=6، يكون رقم فيبوناتشي في التسلسل هو 8.

	Search